微積分 - 函數¶

函數的範例¶

多項式函數¶

多項式函數就是形如\(f(x)=x^2-2x+1,g(x)=x^3-3x^2+3x-1,h(x)=(x+3)^{19293}\)之函數。

Definition

設\(n\)為正整數，並且有係數\(a_0,a_1,\dots,a_n\in\mathbb{R}\)，則函數

\[ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n,\forall x\in\mathbb{R} \]

稱為實係數多項式，並且將所有實係數多項式所形成的集合記為\(\mathbb{R}[x]\)。

如果\(a_0,a_1,\dots,a_n\in\mathbb{Z}\)，那麼稱\(f(x)\)為整係數多項式。同理，如果\(a_i\in\mathbb{Q}\)，則稱為有理係數多項式，並且分別記為\(\mathbb{Z}[x],\mathbb{Q}[x]\)。當然，其定義域皆為\(\mathbb{R}\)，若有必要也可以定義在\(\mathbb{C}\)上。

由此可見，任意有理係數多項式都可以透過乘以分母的最小公倍數（或是直接將分母連乘）得到整係數多項式。

Note

事實上我們只需要規定係數是一個環中的元素即可。詳情見抽象代數。

指對數函數¶

指數函數就是給定一個\(a>0\)，去考慮\(a^x\)是什麼，\(x\in\mathbb{R}\)。但是實際上操作起來會遇到很多問題，例如，什麼是\(2^{\sqrt{2}}\)？什麼是\(2^{\pi}\)？這些數字要怎麼算？

這些問題在初等微積分中是無法回答的，因為我們在這階段所學習的數學語言不夠多，所以沒有辦法很好的去說明這些數字到底是什麼。通常初等微積分都會直接預設這些東西是對的，並且直接拿來用。

但其實解決這些問題的方法很簡單，我們不會算的其實就只有無理數次方而已，有理數次方我們可以透過剛剛才定義的多項式函數去算出，例如要算\(2^{1/3}\)，就只不過是去問\(x^3=2\)的話，那\(x\)是多少？所以我們很自然的，假設我們想要知道\(2^{\pi}\)是多少，我們其實可以去找一個很靠近\(\pi\)的有理數，可能叫做\(q\)，然後再去算\(2^{q}\)是多少，這樣就可以知道在\(2^{\pi}\)附近的有理數次方大概是多少，就可以訂出\(2^{\pi}\)。

Definition

設\(a>0\)，則指數函數定義為

\[ a^x,\forall x\in\mathbb{R} \]

\(a\)稱為底數。

特性：

\[ a^{-x}=\frac{1}{a^x} \]

\[ a^x>0,\forall x\in\mathbb{R} \]

並且如果\(a>1\)，則當\(x\)一直跑向負無窮大的時候，會發現他其實是一個小於\(1\)的數字的某個很大的次方，所以會趨近於\(0\)。

對數函數就是在問：我現在知道兩個數字\(a>0,k>0\)，假設\(a^x=k\)，\(x\)到底是多少？
例如我知道\(2^x=8\)，那我們就可以算出\(x=3\)。其實就只是指數逆運算而已。

Definition

設\(a>0\)，則

\[ \log_{a}(x),\forall x\in\mathbb{R},x>0 \]

稱為以\(a\)為底的對數函數。

特性：
設\(c>0\)為常數，則

\[ \log_a{x}=\frac{\log_{c}(x)}{\log_{a}(c)} \]

這又稱為換底公式

\[ \log_a(a^x)=x \]

也就是指數函數跟對數函數互為反函數。

三角函數¶

Definition

\(\forall x\in\mathbb{R},\sin(x),\cos(x)\)及其倒數，兩者相除，皆為三角函數。

其他三角函數

\(\sec(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}\)
\(\csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}\)
\(\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\)
\(\cot(x)=\dfrac{1}{\tan(x)}\)

函數的集合論定義¶

函數是什麼？就是一種對應關係，且給定\(x\)只能對應到唯一一個\(y\)。

而\(y和x的關係記為y=f(x)\)

Definition

設\(A,B\)皆非空集。我們說\(f\)是一個函數，如果說\(f\)透過某種規則，將\(A\)中的元素\(a\)唯一對應至\(B\)中的一個元素\(b\)，即：

\[ f(a)=b \]

並且要求\(\forall a\in A,\exists b\in B,\text{s.t. }f(a)=b\)（每個\(a\)中的元素都要被送過去）
以及給定\(a_1,a_2\in A\)，若\(b_1=f(a_1),b_2=f(a_2)\)，則\(b_1=b_2\)。（良好定義）
此函數將會記為\(f:A\to{B}\)
其中
\(A\)稱為\(f\)的定義域(Domain)
\(B\)稱為\(f\)的對應域(Codomain)

設\(E_1\subset A,E_2\subset B\)，定義\(E_1\)關於\(f\)的像為

\[ f(E_1):=\{f(a):a\in E_1\}\subset B \]

以及\(E_2\)關於\(f\)的原像為

\[ f^{\text{pre}}(E_2):=\{a\in A:f(a)\in E_2\}\subset A \]

\(f\)的值域，也就是\(A\)關於\(f\)的像（image）\(R_f\)是所有函數值的集合，也就是說

\[ R_f:=f(A) \]

Definition

函數的相等：
我們說兩個函數\(f:A_1\to B_1,g:A_2\to B_2\)相等，如果

\[ A_1=A_2,B_1=B_2,\forall a\in A_1, f(a)=g(a) \]

並且記為\(f=g\)。

Definition

合成函數：
設兩個函數
\(f：A\to{B}, g：C\to{D}\)
則我們可以定義合成函數

\[ f\circ g:C\to B \]

且

\[ (f\circ g)(c)=f(g(c)) \]

Definition

若\(f:A\to B\)是滿射(onto)函數，則：\(\forall y\in B,\exists x\in A,s.t. y=f(x)\)

單射(injective)(one to one)函數的定義：
若\(f:A\to B\)是一對一函數，則：\(\forall a_1,a_2\in A,f(a_1)=f(a_2)\implies a_1=a_2\)

Surjection與Injection為名詞，就是指說Sujective的函數跟Injective的函數。

換句話說：若\(f:A\to B\)是一對一函數，則：\(\forall a_1,a_2\in A,a_1\not=a_2\implies f(a_1)\not=f(a_2)\)

如果函數是滿射也是單射，則稱為對射函數(Bijective)。

Theorem

設\(f:A\to B, g,h:C\to D\)。如果

\[ (f\circ g)=(f\circ h) \]

且\(f\)是單射函數，則\(g=h\)。

Proof

如果說\(g\neq h\)，也就是\(\exists c\in C,\text{s.t. }g(c)\neq h(c)\)。那這樣就會造成矛盾：\(f(g(c))\neq f(g(c))\)，因為\(f\)本身是單射的。

Theorem

設\(f：A\to{B}\)是單射且為滿射函數。
存在唯一的一個函數\(g：B\to{A}\)且\(g\)滿足

\[ (f\circ g)(x)=x \]

\(g\)稱為\(f\)的反函數，記作\(f^{-1}\)。

Proof

存在性：
因為\(f\)是滿射，所以對於任意\(b\in B\)，存在\(a\in A\)，使得\(f(a)=b\)。若訂\(g:B\to A\)為

\[ g(b):=a \]

其中\(f(a)=b\)，則因為\(f\)也是單射函數，\(a\)唯一，故\(g\)為一函數。

唯一性：
若\(g_1,g_2:B\to A\)皆滿足

\[ (f\circ g_1)(b)=b,(f\circ g_2)(b)=b,\forall b\in B \]

那就顯然\((f\circ g_1)=(f\circ g_2)\)，根據引理，\(g_1=g_2\)。

若\(f\)是one to one 且為 onto 函數，則稱\(f\)為bijective

Note

我們說二集合\(A,B\)之元素個數（基數）相等的意思就是存在一個由\(A\)打到\(B\)的對射函數

例如：
\((0,1)\)開區間與包含\(0\)的\([0,1)\)半開半閉區間之基數相等。通常記為：

\[ |[0,1)|=|(0,1)| \]

\(f:A\to B\)定義為
\(\begin{cases}\dfrac{1}{2}\quad ,\text{if }\ x=0\\\dfrac{1}{2^{n+1}}\quad ,\text{if }\ x=\dfrac{1}{2^n},n\in\mathbb{N}\\x\quad,\text{o.w.}\end{cases}\)

那這樣你就可以分情況討論，會發現\(f\)本身是對射函數。